Productos Notables: ¿Qué son los Productos Notables? Ejercicios, Ejemplos, Fórmulas

Productos Notables

  • Concepto: Multiplicaciones cuyos productos cumplen reglas fijas.

Frecuentemente se presentan en álgebra multiplicaciones cuyos productos cumplen reglas fijas, a estos productos se les llama productos notables.

¿Qué son los Productos Notables? Ejercicios, Ejemplos, Fórmulas

Productos notables es el nombre que reciben aquellos algoritmos algebraicos cuya aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas operaciones habituales; son fórmulas matemáticas que permiten simplificar la resolución de algunos polinomios sin tener que realizar la operación completa.

Los productos notables están relacionados con las fórmulas de factorización estudiadas en los primeros cursos de álgebra, ya que cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, el producto de binomios conjugados corresponde a la regla de factorización de diferencia de cuadrados.

Son factores que se escriben en forma de polinomios.

Aquí tienes algunos de los productos notables más conocidos o "notables":

(a+b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

(a + b)(a² + b² - ab) = a³ + b³

(a - b)(a² + b² + ab) = a³ - b³

Como puedes ver, hacia el lado izquierdo de la igualdad tienes la expresión algebraica escrita en forma de factores. Recuerda que

(a+b)² = (a+b)(a+b)

Del lado derecho de la igualdad tienes las mismas expresiones algebraicas escritas en forma de polinomios.

FORMULAS DE PRODUCTOS NOTABLES

Binomio al cuadrado

(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2

(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9

Suma por diferencia

(a + b) · (a − b) = a2 − b2

(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2− 25

Binomio al cubo

(a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2 ± b3

(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 3+ 33 =

= x 3 + 9 x2 + 27 x + 27

(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33=

= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27

Trinomio al cuadrado

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c+ 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

(x2 − x + 1)2 =

= (x2)2 + (-x)2 + 12 +2 · x2 · (-x) + 2 x2 · 1 + 2 · (-x) · 1=

= x4 + x2 + 1 - 2x3 + 2x2 - 2x=

= x4- 2x3 + 3x2 - 2x + 1

Suma de cubos

a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)

8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)

Diferencia de cubos

a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)

8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x2 + 5x + 6

Ejercicios resueltos de productos notables

Desarrolla los binomios al cuadrado.

1(x + 5)2 =

= x2 + 2 · x · 5 + 52 =

2 + 10 x + 25

2(2x - 5)2 =

= (2x)2 - 2 · 2x ·5 + 52 =

4x2 - 20 x + 25

2(2x - 5)2 =

= (2x)2 - 2 · 2x ·5 + 52 =

4x2 - 20 x + 25

4binomio

desarrollo

desarrollo

2Desarrolla los binomios al cubo.

(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33=

= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27

2(x + 2)3 = x 3 + 3 · x2 ·2 + 3 · x· 2 + 23 =

= x3 + 6 x2 + 12 x + 8

3(3x - 2)3 = (3 x)3 − 3 · (3x)2 ·2 + 3 · 3x· 2 2 − 23 =

=27x 3 − 54 x2 + 36 x − 8

4(2x + 5)3 = (2 x)3 + 3 ·(2x)2 ·5 + 3 · 2x· 52 + 5 3 =

= 8x3 + 60 x2 + 150 x + 125

3Desarrolla las sumas por diferencias

1(3x - 2) · (3x + 2) =

= (3x)2 − 22 =

9x2 − 4

2(x + 5) · (x − 5) =

x2 − 25

3(3x - 2) · (3x + 2) =

= (3x)2 − 22 =

9x4 − 4

4(3x - 5) · (3x - 5) =

= (3x) 2 − 52 =

9x 2 − 25

Ejercicios de Productos notables

1.- (x + 4)3 
respuesta: x3 + 12x2 + 48x + 64
2.- (5x + 2y)3
respuesta: 125x3 + 150x2y + 60xy2 + 8y3
3.- 2x2y + 4m)3
respuesta: 18x6y3 + 48x4y2m + 96x2ym2 + 64m3
4.- (1 - 4y)3
respuesta: 1 - 12y + 48y2 -64y3
5.- (3a3 - 7xy4)3 
respuesta: 27a9 - 189a6xy4 + 441a3x2y8 - 343x3y12
6.- (2xa+4 - 8ya-1)3
respuesta: 8x3a+12 - 96x2a+8ya-1 + 384xa+4y3a-3 - 512y3a-3
7.- (x + 5)(x + 3)
respuesta: x2 + 8x + 15
8.- (a + 9)(a - 6)
respuesta: a2 + 3a - 54
9.- (y - 12)(y - 7)
respuesta: y2 - 19y + 84
10.- (4x3 + 15)(4x3 + 5)
respuesta: 16x6 + 80x3 + 75
11.- (5ya+1 + 4)(5ya+1 - 14)
respuesta: 25y2a+2 - 50ya+1 - 56

Productos Notables Ejercicios Resueltos

Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.

Definición de Producto y Producto Notable

Un producto es el resultado de multiplicar dos o más números. Los números que se multiplican se llaman factores o divisores del producto. Se llaman productos notables (o productos especiales) a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.

LOS PRODUCTOS NOTABLES PARA DESCOMPONER POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO:

Los productos notables:

sirven para desarrollar binomios, aplicando la fórmula directamente.

Ejercicios Resueltos de Identidades Notables: EJERCICIOS RESUELTOS PRODUCTOS NOTABLES (ver más abajo)

Si vemos las fórmulas, IDENTIDADES NOTABLES, a la inversa:

Las podemos utilizar para DESCOMPONER POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO, en los que vemos el producto notable del que procede (no siempre es fácil).

EJEMPLOS de este tipo de DESCOMPOSICIÓN DE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO:

x2+2x+1, se vé muy claro que corresponde a (x+1)2

Sin embargo, 4x2+4x+1, podría no verse tan claro que corresponde a (2x+1)2

o incluso, 9x2+12x+4, podría ser igual de complicado ver que es (3x+2)2

si tenemos, 9x2-12x+4, comprobar que es (3x-2)2

Con lo que cuando no se tiene muy claro, lo mejor es recurrir a RESOLVER LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO (ver más abajo) para descomponerlo, que puede que tardemos menos.

Ejercicios Resueltos de Identidades Notables para Matemáticas de Secundaria

EJERCICIOS RESUELTOS DE IDENTIDADES NOTABLES:

EJERCICIOS M3EX245:

Desarrollar y simplificar los siguientes ejemplos de identidades notables:

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO:

La ecuación de segundo grado es la que la incógnita aparece elevada a dos. Para resolverla hay que ordenarla de mayor a menor grado y que quede igual a cero, de la forma:

donde "a" es lo que acompaña a x2; "b" lo que acompaña a x; "c" el término independiente (lo que está suelto)

Una vez hecho esto, se resuelve con la fórmula general:

Por ejemplo, resolver la ecuación x2-5x+6=0

Aparte de que estos valores: x=3; x=2, son las soluciones de la ecuación, esto nos permite descomponer el factores el polinomio P(x)=x2-5x+6, ya que cuando resolvemos una ecuación cualquiera del tipo:

Polinomio=0, este polinomio se puede expresar como:

(x-solución1)·(x-solución2)·.....·(x-soluciónn)

que nos permite además descomponer el polinomio en factores.

Por ello el polinomio P(x)=x2-5x+6, del que ya conocemos las soluciones, se puede expresar como:

P(x)=x2-5x+6=(x-3)·(x-2)

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