Matemáticas: ¿Qué es la Matemática? Historia, Problemas, Ejercicios, Símbolos, Definición

La matemática (o las matemáticas) es una ciencia abstracta, no experimental, y que como primera aproximación podríamos decir que estudia la cantidad y la extensión.

Las disciplinas más importantes que configuran las matemáticas de hoy en día son, según algunos autores, la geometría, el álgebra, el análisis matemático, la estadística y la topología. Otra forma de subdividir esta ciencia es en matemáticas puras, que estudian problemas teóricos, sin utilidad práctica inmediata, y matemáticas aplicadas, motivadas por algún problema de física, química, ingeniería, ..., aunque hay muchos matemáticos a los que esta división les parece demasiado artificial o incluso totalmente falsa.

A pesar de su carácter abstracto (o precisamente gracias a él) se usa en prácticamente todas las otras ciencias como herramienta de cálculo (por ejemplo, el análisis matemático en física) y también como sistema de organización del conocimiento teórico (la teoría de grupos en mecánica cuántica).

¿QUÉ ES LA MATEMÁTICA?

Ante la dificultad de dar una respuesta adecuada a esta pregunta, algunos han propuesto: «La matemática es lo que los matemáticos hacen». No aclara mucho la cuestión, pero no deja de ser por ello un buen punto de partida. La mejor explicación de lo que la matemática es en la actualidad se obtiene, efectivamente, penetrando en el taller del matemático y observando atentamente lo que hace. Por eso, en esta exposición trataremos, en primer lugar, de recorrer panorámicamente algunas de las diferentes áreas de actividad de los que actualmente denominamos matemáticos.

Se intenta a veces encasillar a los matemáticos en dos grandes grupos, el de los matemáticos «puros» y el de los «aplicados». Los «puros» serían quienes sólo se preocupan por el estudio y desarrollo de las estructuras matemáticas por sí mismas; los «aplicados», aquellos que se enfrentan con las realidades de la naturaleza que admiten algún modo de tratamiento matemático, con la intención de entender, explorar y aprovechar tales realidades mediante el conocimiento que se pueda desprender de dicho tratamiento matemático al que más o menos se ajusta esa realidad. Así, se suele hablar de matemática pura y matemática aplicada.

El concebir tal división como dos compartimientos estancos es totalmente inadecuado desde un punto de vista histórico y altamente perjudicial para el desarrollo de estos dos tipos de matemática. Los matemáticos Arquímedes, Newton, Gauss, Poincaré, Hilbert, von Neumann, Weyl.... han desarrollado ambos aspectos de la matemática,y es claro que un sano desarrollo dé ésta no puede obtenerse sino mediante una interacción de estos dos tipos de actividad dentro de ella.

La breve descripción que sigue de las diferentes ramas de la matemática fundamental pretende dar una idea, sin tecnicismos, del espíritu e intenciones que animan la actividad de quienes trabajan en ellas.

Lógica matemática

La lógica aparece ya desarrollada, incluso en forma simbólica, en la filosofía de Aristóteles. Sin embargo, corresponde realmente a la segunda mitad del siglo xix el reconocimiento de que las operaciones lógicas ordinarias pueden ser expresadas mediante operaciones algebraicas. Entonces se comenzó asimismo a sospechar que los números naturales, así como los demas objetos matemáticos, podrían ser definidos en términos puramente lógicos.

La motivación principal para muchos matemáticos de los siglos xix y xx en su dedicación al desarrollo de la lógica fue el deseo de deshacerse de las paradojas que surgieron en la teoría de conjuntos creada por Cantor. Un ejemplo: al considerar conjuntos diversos, parece claro que hay conjuntos que son elementos de sí mismos. Por ejemplo, el conjunto A de todas las cosas que no son verdes es una cosa no verde y por lo tanto un elemento de A. Llamemos a estos conjuntos autopertenecientes. Todos los otros conjuntos serán llamados noautopertenecientes. Asimismo, parece claro que puede uno considerar el conjunto C formado por todos los conjuntos noautopertenecientes. A continuación nos podemos preguntar si C es un conjunto autoperteneciente o noautoperteneciente. Pero si C es autoperteneciente, entonces es elemento de C y, como tal, es noautoperteneciente. Y si C es noautoperteneciente, entonces C debe ser un elemento de C, v por tanto C es autoperteneciente. ¿Cómo salir del atolladero?

Es claro que el razonamiento lógico necesita cierto control, si no queremos ser conducidos a situaciones semejantes. Para saber a qué atenerse en este respecto se ideó el procedimiento de formalización de los razonamientos matemáticos: partimos de ciertas proposiciones claramente establecidas, los axiomas, las manipulamos de acuerdo con reglas de inferencia bien determinadas e incluso exigiremos que axiomas y reglas sean representables mediante símbolos cuyo manejo se convierta así en manipulaciones puramente automáticas. De esta forma, puestos los axiomas y las reglas de inferencia, se podría comprobar (incluso por medio de una máquina) si un razonamiento que a partir de los axiomas da lugar a una proposición se ajusta a las reglas, es decir, si esta proposición es un teorema demostrable del sistema deductivo.

Durante muchos años se pensó que se podría construir un sistema en el que todo razonamiento matemático podría ser formalizado y su verdad controlada de esta forma, al menos en principio. Tal se derrumbó con la demostración de Gödel (1931) de que cualquier sistema que incluya la aritmética de los números naturales es incompleto, es decir, existen en él proposiciones que son verdaderas que no pueden ser demostradas dentro del sistema. El resultado de Gódel constituye uno de los puntos culminantes de la actividad del siglo xx en lógica matemática, y sus repercusiones en el pensamiento filosófico y en la teoría del conocimiento actuales son verdaderamente profundas.

Teoría de números

La teoría de números, la reina de las matemáticas, como Gauss la llamó, es tal vez la disciplina matemática más antigua y la que ha ejercido sobre los hombres de todas las épocas una fascinación más profunda. Está llena de problemas sin resolver, cuvos términos son perfectamente inteligibles para todos y que, sin embargo, han desafiado la sagacidad de los matemáticos más potentes durante siglos. He aquí unos cuantos ejemplos: ¿Es cierto que todo número par positivo es suma de dos números primos? Ésta es la conjetura de Goldbach, formulada a comienzos del siglo xviii. ¿Es cierto que si n es mayor o igual que 3 no existen tres números enteros positivos x, y, z, tales que x^n + y^n=z^n? Éste es el llamado teorema de Fermat, del que aún no se ha llegado a demostrar su verdad ni su falsedad. ¿,Existen infinitas parejas de números primos gemelos, es decir, infinitas parejas de números impares consecutivos que son primos, como el 17 y el 19, el 71 y el 73... ?

Un fenómeno característico de la moderna teoría de números es la versatilidad de sus métodos. De multitud de teoremas en cuyas hipótesis y conclusiones no entran sino los conceptos de número y sus operaciones aritméticas no se conocen más que demostraciones basadas en teoremas nuy profundos de la teoría analítica de variable compleja, o de la teoría de la probabilidad, e incluso de la lógica matemática. Las primeras demostraciones del teorema de distribución de números primos que afirma que el número de números primos entre 2 y N cuando N es grande es aproximadamente

N/(1 + 1/2+ 1/3 +1/4+ ... + 1/N)

estuvieron basadas en la teoría de funciones de variable compleja y en la teoría de la probabilidad.

La actual teoría de números se ha visto enriquecida con la aparición de las nuevas técnicas de computación automática. Los computadores pueden se utilizados en ella experimentalmente, por ejemplo para comprobar que una conjetura es falsa, y también como una ayuda en los métodos de demostración allí donde los razonamientos se ramifican má allá de las posibilidades de la mente humana sin ta ayuda.

Análisis combinatorio

La cuestión fundamental del análisis combinatori es la siguiente: ¿De cuántas maneras diferentes s puede realizar una determinada tarea? Por ejemplo: una secretaria tiene escritas diez cartas diferentes para diez personas diferentes. Ha escrito también en diez sobres las señas de estas personas. ¿De cuántas formas diferentes puede equivocarse al meter las cartas en los sobres? Tales problemas son a menudo fáciles de enunciar y difíciles de resolver, requiriéndose, en general, ni más ni menos que lo que Gauss llamó un contar inteligentemente. Un mapa plegable de Madrid que tiene tres dobleces verticalmente y cuatro horizontalmente, ¿de cuántas maneras diferentes se puede plegar? El problema general, que pide una fórmula que dé el número de maneras diferentes de doblar un mapa conocido el número de pliegues está aún por resolver.

Álgebra

Las tres secciones clásicas de las matemáticas son el álgebra, el análisis y la geometría.

El álgebra clásica tiene que ver con la solución de las ecuaciones familiares de primero, segundo, tercer grado, etc… y en este sentido el álgebra tiene ya más de cuatro mil años de antigüedad. El florecimiento del álgebra moderna es cosa de los últimos cincuenta años. El álgebra moderna estudia las estructuras algebraicas que vienen a ser sistemas de elementos con operaciones semejantes a las que se pueden realizar con los números enteros, racionales, reales, complejos. El estudio abstracto de tales estructuras representa una enorme economía de pensamiento, ya que aparecen repetidas muchas veces en muv diversas áreas de una forma natural. Los teoremas demostrados sobre la estructura abstracta son así inmediatamente aplicables. Por otra parte, tal estudio pone de manifiesto la unidad profunda de los diversos campos de la matemática.

Un sistema de elementos entre los que se pueden realizar dos operaciones que siguen las mismas leyes formales de la multiplicación y adición entre números racionales se denomina un cuerpo. Hacia 1830, Galois descubrió la existencia de cuerpos con un número finito de elementos. Si p es un número primo, consideramos los elementos 1, 2, 3.... p-1. El «producto» de dos de estos elementos a, b es definido como el producto ordinario cuando éste es menor que p. Si es p o mayor, entonces dividimos por p y tomamos el resto de esta división como «producto» de a y b. Análogamente se define la «suma». «Producto» y «suma» así definidos siguen las leyes formales de la adición y producto ordinarios entre números racionales. El opuesto de 2 es p-2, ya que 2 «más» p-2 es 0 y el inverso de 2 es el elemento h de nuestro conjunto tal que 2 por h da como resto 1 al dividirlo por p. Son muchos los conjuntos en matemáticas que aparecen de modo natural y que poseen la estructura de cuerpo. Los números reales, los números complejos, las funciones racionales, es decir, las de la forma Px)/Q(x), donde P y Q son polinomios de coeficientes reales, Q distinto del polinomio 0, etcétera.

La teoría de cuerpos estudia, por ejemplo, la estructura del cuerpo K formado al adjuntar a un cuerpo inicial F un nuevo elemento raíz de un polinomio con coeficientes del cuerpo F.

HISTORIA

Las matemáticas son el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas.

Las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad.

Las matemáticas avanzadas y organizadas fueron desarrolladas en el tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto, las cuales estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos.

Los primeros libros egipcios, muestran un sistema de numeración decimal con símbolos diferentes para las potencias de 10, similar a los números romanos. Los números se representaban escribiendo 1 tantas veces como unidades tenía la cifra dada, el 10, tantas veces como decenas tenía, y así sucesivamente. Para sumar, se sumaban en secciones diferentes las unidades, las decenas, las centenas... de cada número para obtener el resultado correcto. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (ð), junto con la fracción, para expresar todas las fracciones. En geometría encontraron reglas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, pirámides. Para calcular el área de un círculo, utilizaron un cuadrado de lado ð del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando pi 3.1416.

Los babilonios tallaron tablillas con varias cuñas (cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una en forma de flecha representaba al 10. Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como lo hacían los egipcios y los romanos. Pero el 60, era representado con el símbolo del 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en la cifra completa. Esta manera de expresar números, fue ampliado a la representación de fracciones. Posteriormente este sistema fue denominado sexagesimal.

Uno de los grupos más innovadores en la historia de las matemáticas fueron los egipcios, quienes inventaron las matemáticas abstractas basadas en definiciones, axiomas y demostraciones. Los descubridores egipcios más importantes fueron Tales de Mileto y Pitágoras de Samos, quien explicó la importancia del estudio de los números.

Uno de los principales en la geometría fue Demócrito, quien encontró la fórmula para calcular el volumen de una pirámide, aunque Hipócrates, descubrió que el área de figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos triángulos, lo cual está relacionado con el problema de la cuadratura del círculo, que consiste en construir un cuadrado de área igual a un círculo. En ese tiempo también fue resuelto mediante diversos métodos y utilizando instrumentos diversos, entre los que se encuentran el compás en incluso la regla el problema de la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo que consiste en construir un cubo cuyo volumen es el cuadrado de el de un cubo dado).

En el siglo II a.C., los griegos adoptaron el sistema babilónico de almacenamiento de fracciones y recopilaron tablas de las cuerdas de un círculo, puesto que para un círculo de radio determinado, estas tablas daban la longitud de las cuerdas en función del ángulo central correspondiente, que crecía con un determinado incremento. Eran similares a las tablas de seno y coseno, y marcaron el comienzo de la trigonometría.

Mientras tanto, se desarrollaron otros métodos para resolver problemas con triángulos planos y se introdujo el teorema de Menéalo, que utilizaron para calcular las longitudes de arcos de esfera en función de otros arcos, son este conocimiento, les fue posible resolver problemas de astronomía esférica.

Después de un siglo de expansión de la religión musulmana, los árabes incorporaron a su propia ciencia los resultados de “ciencias extranjeras”.

Hacia el año 900, los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en aritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales. Posteriormente, Jayyam generalizó los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior. Pero el árabe Al-Jwârizmî (de su nombre procede la palabra algoritmo) desarrolló el álgebra de los polinomios; al-Karayi la completó para polinomios incluso con infinito número de términos. Ibrahim ibn Sinan, continuaron investigaciones sobre áreas y volúmenes. Los matemáticos Habas al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon trigonometrías plana y esférica utilizando la función seno de los indios y el teorema de Menelao.

Pero fue siglos después cuando algunos matemáticos árabes lograron importantes avances en la teoría de números, mientras otros crearon variedad de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones.

En el siglo XVIII, Euler aportó ideas sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra. La teoría de Newton estaba basada en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era algebraico y basado en el concepto de las series infinitas.

A principios del siglo XIX, Gauss dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y Riemann. Otro importante avance del estudio, por parte de Fourier, fue el de las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas, las que hoy en día se conocen como series de Fourier, y son herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Además, la investigación de funciones llevó a Cantor al estudio de los conjuntos infinitos y a una aritmética de números infinitos. La teoría de Cantor fue considerada como demasiado abstracta y criticada como “enfermedad de la que las matemáticas se curarán pronto”, forma hoy parte de los fundamentos de las matemáticas y recientemente ha encontrado una nueva aplicación en el estudio de corrientes turbulentas en fluidos.

Hilbert invento el ordenador o computadora digital programable, primordial en las matemáticas del futuro. Aunque los orígenes de las computadoras fueron las calculadoras de relojería de Pascal y Leibniz en el siglo XVII, fue Babbage quien, en la Inglaterra del siglo XIX, diseñó una máquina capaz de realizar operaciones matemáticas automáticamente siguiendo una lista de instrucciones escritas en tarjetas o cintas. La imaginación de Babbage sobrepasó la tecnología de su tiempo, construyendo el relé, la válvula de vacío y después la del transistor cuando la computación programable a gran escala se hizo realidad., lo cual ha dado un gran impulso a ciertas ramas de las matemáticas, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y ha generado nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos.

Se ha convertido en una poderosa herramienta en campos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador ha permitido encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente, como el problema topológico de los cuatro colores propuesto a mediados del siglo XIX. El teorema dice que cuatro colores son suficientes para dibujar cualquier mapa, con la condición de que dos países limítrofes deben tener distintos colores.

Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros como las hipótesis de Riemann siguen sin solución. Al mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso las matemáticas más abstractas están encontrando aplicación.

EJERCICIOS

Problemas de sumar 1

Problemas de sumar 2

Problemas de sumar 3

1 a. 7 + 2 = ____

1 b. 5 + 1 = ____

1 c. 1 + 4 = ____

2 a. 6 + 0 = ____

2 b. 1 + 2 = ____

2 c. 1 + 6 = ____

3 a. 2 + 4 = ____

3 b. 6 + 7 = ____

3 c. 2 + 7 = ____

4 a. 6 + 3 = ____

4 b. 3 + 4 = ____

4 c. 7 + 0 = ____

5 a. 5 + 4 = ____

5 b. 5 + 5 = ____

5 c. 2 + 2 = ____

6 a. 3 + 3 = ____

6 b. 7 + 4 = ____

6 c. 5 + 3 = ____

7 a. 0 + 6 = ____

7 b. 6 + 5 = ____

7 c. 2 + 6 = ____

8 a. 2 + 1 = ____

8 b. 6 + 4 = ____

8 c. 4 + 2 = ____

1 a. 1 + ___ = 6

1 b. 0 + ___ = 6

2 a. ___ + 0 = 6

2 b. ___ + 2 = 6

3 a. 3 + ___ = 6

3 b. ___ + 3 = 6

4 a. ___ + 1 = 6

4 b. 6 + ___ = 6

5 a. ___ + 4 = 6

5 b. 5 + ___ = 6

6 a. 4 + ___ = 6

6 b. ___ + 5 = 6

1 a. ______ + 70 = 160

1 b. ______ + 40 = 110

2 a. 20 + ______ = 100

2 b. ______ + 60 = 100

3 a. ______ + 70 = 100

3 b. ______ + 70 = 130

4 a. 30 + ______ = 110

4 b. ______ + 60 = 150

5 a. 10 + ______ = 20

5 b. ______ + 70 = 150

6 a. 80 + ______ = 90

6 b. ______ + 20 = 90

7 a. 70 + ______ = 150

7 b. 50 + ______ = 100

8 a. 50 + ______ = 110

8 b. 30 + ______ = 80

9 a. ______ + 40 = 120

9 b. ______ + 70 = 120

10 a. 40 + ______ = 90

10 b. 80 + ______ = 130

Soluciones de Adición 1

Soluciones de Adición 2

Soluciones de Adición 3

1a. 9 1b. 6 1c. 5

2a. 6 2b. 3 2c. 7

3a. 6 3b. 13 3c. 9

4a. 9 4b. 7 4c. 7

5a. 9 5b. 10 5c. 4

6a. 6 6b. 11 6c. 8

7a. 6 7b. 11 7c. 8

8a. 3 8b. 10 8c. 6

1a. 5 1b. 6

2a. 6 2b. 4

3a. 3 3b. 3

4a. 5 4b. 0

5a. 2 5b. 1

6a. 2 6b. 1

1a. 90 1b. 70

2a. 80 2b. 40

3a. 30 3b. 60

4a. 80 4b. 90

5a. 10 5b. 80

6a. 10 6b. 70

7a. 80 7b. 50

8a. 60 8b. 50

9a. 80 9b. 50

10a. 50 10b. 50

Hoja de ejercicios 1 de resta

Hoja de ejercicios 2 de resta

Hoja de ejercicios 3 de resta

1 a. 96 − 5 = ____

1 b. 83 − 3 = ____

2 a. 83 − 0 = ____

2 b. 39 − 5 = ____

3 a. 17 − 1 = ____

3 b. 24 − 0 = ____

4 a. 68 − 0 = ____

4 b. 59 − 4 = ____

5 a. 45 − 1 = ____

5 b. 52 − 2 = ____

6 a. 54 − 1 = ____

6 b. 76 − 5 = ____

7 a. 29 − 2 = ____

7 b. 95 − 1 = ____

8 a. 68 − 1 = ____

8 b. 55 − 4 = ____

9 a. 66 − 3 = ____

9 b. 26 − 5 = ____

10 a. 85 − 2 = ____

10 b. 16 − 6 = ____

1 a. 97 − 6 = ____

1 b. 49 − 2 = ____

2 a. 14 − 0 = ____

2 b. 86 − 5 = ____

3 a. 67 − 6 = ____

3 b. 84 − 0 = ____

4 a. 24 − 4 = ____

4 b. 57 − 4 = ____

5 a. 17 − 2 = ____

5 b. 38 − 2 = ____

6 a. 98 − 6 = ____

6 b. 26 − 4 = ____

7 a. 65 − 0 = ____

7 b. 45 − 4 = ____

8 a. 27 − 7 = ____

8 b. 54 − 1 = ____

9 a. 32 − 2 = ____

9 b. 66 − 0 = ____

10 a. 78 − 2 = ____

10 b. 97 − 2 = ____

1 a. 47 − 6 = ____

1 b. 77 − 7 = ____

2 a. 59 − 7 = ____

2 b. 75 − 1 = ____

3 a. 69 − 7 = ____

3 b. 44 − 4 = ____

4 a. 43 − 1 = ____

4 b. 27 − 3 = ____

5 a. 66 − 5 = ____

5 b. 17 − 4 = ____

6 a. 29 − 5 = ____

6 b. 77 − 4 = ____

7 a. 92 − 2 = ____

7 b. 84 − 2 = ____

8 a. 29 − 6 = ____

8 b. 25 − 0 = ____

9 a. 48 − 8 = ____

9 b. 88 − 7 = ____

10 a. 86 − 3 = ____

10 b. 92 − 1 = ____

Soluciones de ejercicios 1

Soluciones de ejercicios 2

Soluciones de ejercicios 3

1a. 91 1b. 80

2a. 83 2b. 34

3a. 16 3b. 24

4a. 68 4b. 55

5a. 44 5b. 50

6a. 53 6b. 71

7a. 27 7b. 94

8a. 67 8b. 51

9a. 63 9b. 21

10a. 83 10b. 10

1a. 91 1b. 47

2a. 14 2b. 81

3a. 61 3b. 84

4a. 20 4b. 53

5a. 15 5b. 36

6a. 92 6b. 22

7a. 65 7b. 41

8a. 20 8b. 53

9a. 30 9b. 66

10a. 76 10b. 95

1a. 41 1b. 70

2a. 52 2b. 74

3a. 62 3b. 40

4a. 42 4b. 24

5a. 61 5b. 13

6a. 24 6b. 73

7a. 90 7b. 82

8a. 23 8b. 25

9a. 40 9b. 81

10a. 83 10b. 91

Hoja de 1 de multiplicación

Hoja de 2 de multiplicación

Hoja de 3 de multiplicación

1 a. 5 x 4 = ____

1 b. 8 x 6 = ____

1 c. 4 x 3 = ____

2 a. 10 x 6 = ____

2 b. 10 x 3 = ____

2 c. 4 x 7 = ____

3 a. 5 x 9 = ____

3 b. 7 x 5 = ____

3 c. 6 x 10 = ____

4 a. 4 x 6 = ____

4 b. 2 x 5 = ____

4 c. 5 x 5 = ____

5 a. 7 x 3 = ____

5 b. 3 x 8 = ____

5 c. 8 x 10 = ____

6 a. 10 x 7 = ____

6 b. 5 x 2 = ____

6 c. 3 x 6 = ____

7 a. 5 x 3 = ____

7 b. 8 x 2 = ____

7 c. 2 x 10 = ____

8 a. 9 x 3 = ____

8 b. 8 x 5 = ____

8 c. 6 x 6 = ____

9 a. 2 x 4 = ____

9 b. 2 x 3 = ____

9 c. 4 x 2 = ____

10 a. 5 x 10 = ____

10 b. 6 x 9 = ____

10 c. 2 x 7 = ____

1 a. 10 x 2 = ____

1 b. 4 x 8 = ____

1 c. 6 x 4 = ____

2 a. 9 x 9 = ____

2 b. 3 x 3 = ____

2 c. 8 x 7 = ____

3 a. 4 x 5 = ____

3 b. 7 x 2 = ____

3 c. 3 x 6 = ____

4 a. 5 x 10 = ____

4 b. 6 x 3 = ____

4 c. 4 x 9 = ____

5 a. 5 x 6 = ____

5 b. 3 x 8 = ____

5 c. 10 x 10 = ____

6 a. 2 x 4 = ____

6 b. 2 x 10 = ____

6 c. 5 x 9 = ____

7 a. 7 x 5 = ____

7 b. 4 x 6 = ____

7 c. 9 x 10 = ____

8 a. 2 x 5 = ____

8 b. 10 x 9 = ____

8 c. 6 x 9 = ____

9 a. 7 x 9 = ____

9 b. 8 x 2 = ____

9 c. 7 x 8 = ____

10 a. 9 x 5 = ____

10 b. 10 x 8 = ____

10 c. 9 x 8 = ____

1 a. 6 x 3 = ____

1 b. 7 x 6 = ____

1 c. 10 x 8 = ____

2 a. 5 x 6 = ____

2 b. 8 x 4 = ____

2 c. 8 x 8 = ____

3 a. 2 x 8 = ____

3 b. 8 x 10 = ____

3 c. 5 x 4 = ____

4 a. 4 x 5 = ____

4 b. 6 x 6 = ____

4 c. 7 x 7 = ____

5 a. 3 x 3 = ____

5 b. 7 x 4 = ____

5 c. 8 x 7 = ____

6 a. 3 x 5 = ____

6 b. 9 x 2 = ____

6 c. 4 x 2 = ____

7 a. 10 x 4 = ____

7 b. 7 x 2 = ____

7 c. 2 x 9 = ____

8 a. 6 x 5 = ____

8 b. 2 x 2 = ____

8 c. 10 x 10 = ____

9 a. 7 x 9 = ____

9 b. 2 x 6 = ____

9 c. 5 x 5 = ____

10 a. 3 x 2 = ____

10 b. 9 x 4 = ____

10 c. 8 x 2 = ____

Soluciones de ejercicios 1

Soluciones de ejercicios 2

Soluciones de ejercicios 3

1a. 20 1b. 48 1c. 12

2a. 60 2b. 30 2c. 28

3a. 45 3b. 35 3c. 60

4a. 24 4b. 10 4c. 25

5a. 21 5b. 24 5c. 80

6a. 70 6b. 10 6c. 18

7a. 15 7b. 16 7c. 20

8a. 27 8b. 40 8c. 36

9a. 8 9b. 6 9c. 8

10a. 50 10b. 54 10c. 14

1a. 20 1b. 32 1c. 24

2a. 81 2b. 9 2c. 56

3a. 20 3b. 14 3c. 18

4a. 50 4b. 18 4c. 36

5a. 30 5b. 24 5c. 100

6a. 8 6b. 20 6c. 45

7a. 35 7b. 24 7c. 90

8a. 10 8b. 90 8c. 54

9a. 63 9b. 16 9c. 56

10a. 45 10b. 80 10c. 72

1a. 18 1b. 42 1c. 80

2a. 30 2b. 32 2c. 64

3a. 16 3b. 80 3c. 20

4a. 20 4b. 36 4c. 49

5a. 9 5b. 28 5c. 56

6a. 15 6b. 18 6c. 8

7a. 40 7b. 14 7c. 18

8a. 30 8b. 4 8c. 100

9a. 63 9b. 12 9c. 25

10a. 6 10b. 36 10c. 16

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